A ideia de mostrar toda a fila é simples: percorremos o vetor até a última posição preenchida e mostramos os valores que, em nosso exemplo, guardamos em uma variável do tipo String.

public void mostrarFila() {
	int cont;
	String mensagem = "";
	for (cont=0;cont<=ultimaPos; cont++) {
		mensagem = mensagem + vetor[cont] + " ! ";
		
	}
	System.out.println(mensagem);
}

import javax.swing.JOptionPane;
public class Principal {

	public static void main(String[] args) {
		int tamanho;
		tamanho = Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog("Qual a tamanho máximo da fila? "));
		Fila pessoas = new Fila (tamanho);
		String nome;
		int cont;
		
		for (cont=0;cont < tamanho; cont++) {
			nome = JOptionPane.showInputDialog("Nome a inserir");
			pessoas.enfileirar(nome);
		}
		pessoas.mostrarFila();
	}
}